Elfajult eset

A matematikában elfajult eset (degenerált vagy irreguláris eset) egy matematikai fogalom vagy kijelentés olyan alesete (specializációja), amely esetén az általánosabb esetben érvényes megközelítések – tulajdonságok, kijelentések, módszerek – nehezen értelmezhetővé (vitatottá) vagy értelmetlenné és érvénytelenné válnak.

Az elfajult esetnek így különleges jellemzői vannak, amik eltérnek a bővebb osztály általános jellemzőitől. Az elfajult eset legtöbbször és röviden tehát: kivétel. Ez teszi az ilyen eseteket kényelmetlenné, hiszen általában külön megfontolást (diszkussziót) igényelnek, „elrontják” a „szép” szabályokat és törvényeket, és kezelésük nem mindig egyszerű.

Felmerül természetesen a kérdés, hogy ez esetben miért van szükség az elfajult eseteknek az általános aleseteként való kezelésére. A válaszokat részben a matematika sajátos elvontsága és formális módszerei rejtik, mint pl. az állandó általánosításra való törekvése, részben pedig az emberi pszichikum sajátosságai, amelyek nem minden esetben alkalmasak a problémák, és különösen a formalizált problémák minden következményének azonnali átlátására. Például a geometriai problémák megközelíthetőek a lineáris algebra eszközeit használó koordinátageometriai úton, de a megfeleltetés sok esetben nem „egy az egyben” történik: az algebrai egyenletrendszerek, különösen előre jól meggondolt peremfeltételek híján, nemcsak geometriailag szokványos, hanem elfajult alakzatokat is kiadhatnak megoldásként. Általában a matematikai problémamegoldás pszichológiai jellemzője (nem pedig matematikailag kódolt szükségszerűség), hogy az utóbbiakat kizáró peremfeltételeket sokszor csak a megoldás megtalálása után, vagy azzal együtt lehet könnyen felfedezni, tudatosítani. Ugyanis a geometriai módszerrel átláthatatlannak tűnő probléma éppen a megfelelő algebrai modell megtalálásával válik (persze, fordítva is lehetséges) csak annyira átláthatóvá, hogy a peremfeltételek is észrevehetővé válnak. Ilyenkor szükség van a megoldás utólagos diszkussziójára.

Az elfajult esetek figyelembe vétele mellett azonban sok esetben – tág értelemben – filozófiai jellegű: elvi, módszertani, technikai, didaktikai, tradicionális okok is szerepet játszhatnak (ld. pl. Lakatos Imre: Bizonyítások és cáfolatok c. könyvének a poliéderek mibenlétéről és modelljeiről szóló példavita-részeket).